lunes, 5 de septiembre de 2011

MÉTODO DE FACTORIZACION





MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:
  • Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.
  • Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.
  • Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.
  • Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.
  • Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.
  • Después se despeja X en los dos factores.
  • Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.
  • Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:
x2 - 28x + 187 = 0
(X ) (X ) = 0
(X - ) (X ) = 0
(X - ) (X - ) = 0
187 11
17 17
1
(X - 17) (X - 11) = 0
X - 17 = 0 X - 11 = 0
X1 = 17 X2= 11
FORMULA GENERAL
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de formula general se deben seguir los siguientes pasos:
  • En este método de resolución, sólo hay que seguir la formula general para poder llegar a la resolución. La formula es:

-b + b2 - 4 a c
2a
  • Solo hay que sustituir los valores de a, b y c en la formula.






    casos de factorizacion




    Factor Común

    Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

    \begin{displaymath}{x^3y}+{x^2x^2}-{2xy}={xy(x^2+xy-2)}\end{displaymath}


    Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo: 

    \begin{displaymath}{ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)}\end{displaymath}




    \begin{displaymath}{=x(a+b)+y(a+b)}\end{displaymath}




    \begin{displaymath}{=(a+b)(x+y)}\end{displaymath}


    Casos para Trinomios

    Trinomio cuadrado perfecto:Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características:
    • El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.
    • El segundo término es igual a dos vces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o difeencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza asi:


    Diferencia de cuadrados:

    para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:

    \begin{displaymath}{x^2}-{y^2}={(x+y)(x-y)}\end{displaymath}


    Suma o diferencia de potencias iguales:Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

    \begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}-{b}\end{displaymath}


    si n es par y

    \begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}+{b}\end{displaymath}


    si n es impar

    \begin{displaymath}{a^n}+{b^n}/{a}+{b}\end{displaymath}


    se factoriza asi: si n pertenece a z

    \begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a-b)({a^n-1}+{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}+{...}+{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}


    si n es par

    \begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}-{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}


    si n es impar

    \begin{displaymath}{a^n}+{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}+{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}



    Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:

    En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo:

    \begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}\end{displaymath}


    resolviendolo nos queda:

    \begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4+4m^2n^2-4m^2n^2}\end{displaymath}




    \begin{displaymath}{m^4-6m^2n^2+9n^4-4m^2n^2}\end{displaymath}




    \begin{displaymath}{(m^2-3n^2)^2-(2mn)^2} \end{displaymath}


    Aplicamos diferencia de cuadrados:

    \begin{displaymath}{[(m^2-3n^2)+2mn][(m^2-3n^2)-2mn]} \end{displaymath}


    Trinomio cuadrado de la forma ${x^{2n}}+{bx^n}+{c}$

    Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:
    • Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
    • El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
    • La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
    • Existen dos números que :

      \begin{displaymath}{M}+{m}={b} y {M}.{m}={c}\end{displaymath}


      es decir:

      \begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}={({x^n}+{M})({x^n}+{M}}\end{displaymath}


      .

      Trinomio cuadrado de la forma ${ax^{2n}}+{bx^n}+{c}$

      Debe cumplir con las siguientes características:
      • Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
      • El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
      • La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
      • Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

        \begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}\end{displaymath}


        de la siguiente forma:

        \begin{displaymath}{ax^{2n}}+{bx^n}+{c}\end{displaymath}


        luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

        \begin{displaymath}\frac{a(ax^2n+bx^n+c)}{a}\end{displaymath}


        y se opera, dando como resultado:

        \begin{displaymath}\frac{(ax^n)^2+b(ax^n)+ac}{a} \end{displaymath}


        Cubo perfecto de Binomios

        Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

        \begin{displaymath}(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{displaymath}


        y

        \begin{displaymath}(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\end{displaymath}


        es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:
        • Debe tener cuatro términos.
        • Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
        • Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
        • Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .
        Raíz cúbica de un monomio:esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorar un expresión que es el cubo de un binomio:

        \begin{displaymath}{(1+12a+48a^2+64a^3)}\end{displaymath}


        Suma o Diferencia de Cubos perfectos

        Para esto debemos recordar que:

        \begin{displaymath}\frac{a^3+b^3}{a+b} = a^2-ab+b^2\end{displaymath}


        y

        \begin{displaymath}\frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2\end{displaymath}


        Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
        • La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
        • La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.


        Suma o Diferencia de dos potencias iguales

        recapitulacion de:
        • ${a^n-b^n}$ es divisible por ${a-b}$ siendo n un número par o impar
        • ${a^n+b^n}$ es divisible por ${a+b}$ siendo n impar
        • ${a^n-b^n}$ es divisible por ${a+b}$ siendo n par
        • ${a^n+b^n}$ nunca es divisible por ${a-b}$
        Ejemplo:

        \begin{displaymath}{m^5+n^5}\end{displaymath}


        se divide por

        \begin{displaymath}{m+n}\end{displaymath}


        y tenemos:

        \begin{displaymath}\frac {m^5+n^5}{m+n}=m^4-m^3n+m^2n^2-mn^3+n^4\end{displaymath}


        y obtenemos como respuesta:

        \begin{displaymath}{m^5+n^5}={(m+n)(m^4-m^3n+m^2n^2-mn^3+n^4}\end{displaymath}


        Casos para Polinomios

        Agrupación de términos:Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:

        \begin{displaymath}{2ab+2a-b-2ac+c-1} \end{displaymath}


        resolviendolo nos queda:

        \begin{displaymath}{(2ab-2ac+2a)-(b-c+1)} \end{displaymath}




        \begin{displaymath}{2a(b-c+1)-(b-c+1)} \end{displaymath}




        \begin{displaymath}{(b-c+1)-(2a-1)} \end{displaymath}
        Ejemplo 1: 2ax2-4ay+8a2x
        Analicemos término por término:
        El primer término podemos expresarlo como: 2axx
        El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay
        Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax
        Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a, a este término se le conoce como factor común.
        De esta forma 2ax2-4ay+8a2x, puede expresarse como: 2a (x2-2y+4ax)
        No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la experiencia en las fórmulas revisadas anteriormente nos permitirá reconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos.
        Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios.
        Ejemplo 2:Factorizar 2x+6y.
        2x+6y podemos expresarlo como 2*x+2*3*y
        En este caso los coeficientes son múltiplos de 2; por lo tanto podemos tomar como factor común a 2, ya que aparece en ambos términos del polinomio.
        2x+6y=2(x+3y)
        Si ahora tomamos a 3 como factor común tenderemos (2)(3)Factorización
        ; quedando una fracción por lo que la factorización ya no es completa.
        Ejemplo 3:Descomponer en factores a(x+2y)-3(x+2y)
        En este ejemplo el factor común en (x+2y), ya que aparece en los términos que componen el polinomio, por tanto (x+2y)(a-3)=a(x+2y)-3(x+2y).
        Factorización de un binomio cuadrado perfecto
        Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.
        Ejemplo 1:Factorizar a2-4ab+4b2
        Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:Factorización

        Raíz cuadrada del tercer término:Factorización

        Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
        Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
        Ejemplo 2:Factorizar 36x2-18xy4+4y8
        Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
        Raíz cuadrada del tercer término: Factorización

        Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
        Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.
        Diferencia de cuadrados
        Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
        Ejemplo 1:Factorizar 1-a2
        Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
        Raíz cuadrada del minuendo: Factorización

        Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización

        Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
        Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
        Ejemplo 2:Factorizar 16x2-25y4
        Raíz cuadrada del minuendo: Factorización

        Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización

        Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
        Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)

        Factorización de trinomios
        Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.
        Ejemplo 1:Factorizar x2+2x-15
        En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.
        En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.
        Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
        Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).
        Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.
        Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).
        Ejemplo 2:
        Factorizar x2+6x-216
        En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 6x tiene signo +.
        En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +6x por el signo de -216, tenemos que + por - da -.
        Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos:
        Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
        Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216 (x2+6x-216). Estos números no se ven fácilmente, para hallarlos descomponemos el tercer término en sus factores primos

















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